Métropole, mars 2023

Des biologistes étudient l’évolution d’une population d’insectes dans un jardin botanique. Au début de l’étude, la population est de  $100000$ insectes. Pour préserver l’équilibre du milieu naturel, le nombre d’insectes ne doit pas dépasser $400000$ .

Partie A - Étude d’un premier modèle en laboratoire

L’observation de l’évolution de ces populations d’insectes en laboratoire, en l’absence de tout prédateur, montre que le nombre d’insectes augmente de  $60\mathrm{\%}$  chaque mois.
En tenant compte de cette observation, les biologistes modélisent l’évolution de la population d’insectes à l’aide d’une suite  $(u_n)$ où, pour tout entier naturel $n$ ,  $u_n$  modélise le nombre d’insectes, exprimé en millions, au bout de  $n$ mois.
On a donc  $u_0=0,1$ .

1. Justifier que, pour tout entier naturel  $n$ : $u_n=0,1\times 1,6^n$ .

2. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ .

3. Selon ce modèle, l’équilibre du milieu naturel serait-il préservé ? Justifier la réponse.

Partie B - Étude d’un second modèle

En tenant compte des contraintes du milieu naturel dans lequel évoluent les insectes, les biologistes choisissent une nouvelle modélisation.
Ils modélisent le nombre d’insectes à l’aide de la suite $(v_n)$ , définie par :  $v_0=0,1$  et, pour tout entier naturel $n$ , $v_{n+1}=1,6v_n-1,6v_n^2$ , où, pour tout entier naturel $n$ ,  $v_n$ est le nombre d’insectes, exprimé en millions, au bout de  $n$ mois.

1. Déterminer le nombre d’insectes au bout d’un mois.

2. On considère la fonction  $f$ définie sur l’intervalle $[0;{\displaystyle \frac{1}{2}}]$ par  $f(x)=1,6x-1,6x^2$ .
    a. Résoudre l’équation $f(x)=x$ .
    b. Montrer que la fonction  $f$ est croissante sur l’intervalle $[0;{\displaystyle \frac{1}{2}}]$ .

3. a. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ , $0⩽v_n⩽v_{n+1}⩽{\displaystyle \frac{1}{2}}$ .
    b. Montrer que la suite  $(v_n)$ est convergente.
On note  $\ell$ la valeur de sa limite. On admet que  $\ell$ est solution de l’équation $f(x)=x$ .
    c. Déterminer la valeur de $\ell$ . Selon ce modèle, l’équilibre du milieu naturel sera-t-il préservé ? Justifier la réponse.

4. On donne ci-dessous la fonction seuil, écrite en langage Python.

\(\begin{array}{| l| } \hline \text{def seuil(a) : } \ \qquad \text{v=0.1} \\qquad \text{n=0 } \ \qquad\text{while v